Question

【題目】頂點為D的拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B(3，0)，交y軸于點C，直線y＝﹣x+m經過點C，交x軸于E(4，0)．

(1)求出拋物線的解析式；

(2)如圖1，點M為線段BD上不與B、D重合的一個動點，過點M作x軸的垂線，垂足為N，設點M的橫坐標為x，四邊形OCMN的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值；

(3)點P為x軸的正半軸上一個動點，過P作x軸的垂線，交直線y＝﹣x+m于G，交拋物線于H，連接CH，將△CGH沿CH翻折，若點G的對應點F恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣)2+；當x＝時，S有最大值，最大值為；(3)存在，點P的坐標為(4，0)或(，0).

【解析】

（1）將點E代入直線解析式中，可求出點C的坐標，將點C、B代入拋物線解析式中，可求出拋物線解析式．

（2）將拋物線解析式配成頂點式，可求出點D的坐標，設直線BD的解析式，代入點B、D，可求出直線BD的解析式，則MN可表示，則S可表示．

（3）設點P的坐標，則點G的坐標可表示，點H的坐標可表示，HG長度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．

（1）將點E代入直線解析式中，

0＝﹣×4+m，

解得m＝3，

∴解析式為y＝﹣x+3，

∴C(0，3)，

∵B(3，0)，

則有，

解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，

∴D(1，4)，

設直線BD的解析式為y＝kx+b，代入點B、D，

，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，

則點M的坐標為(x，﹣2x+6)，

∴S＝(3+6﹣2x)x＝﹣(x﹣)2+，

∴當x＝時，S有最大值，最大值為．

(3)存在，

如圖所示，

設點P的坐標為(t，0)，

則點G(t，﹣t+3)，H(t，﹣t2+2t+3)，

∴HG＝|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)|＝|t2﹣t|

CG＝＝t，

∵△CGH沿GH翻折，G的對應點為點F，F落在y軸上，

而HG∥y軸，

∴HG∥CF，HG＝HF，CG＝CF，

∠GHC＝∠CHF，

∴∠FCH＝∠CHG，

∴∠FCH＝∠FHC，

∴∠GCH＝∠GHC，

∴CG＝HG，

∴|t2﹣t|＝t，

當t2﹣t＝t時，

解得t1＝0(舍)，t2＝4，

此時點P(4，0)．

當t2﹣t＝﹣t時，

解得t1＝0(舍)，t2＝，

此時點P(，0)．

綜上，點P的坐標為(4，0)或(，0)．