Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論： ①∠EBG=45°； ②△DEF∽△ABG；
③S△ABG=S△FGH； ④AG+DF=FG．
其中正確的是 ． （填寫正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：∵根據折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE， 又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠EBG= ，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，
∴根據折疊得∠BFE=∠C=90°，
∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，
∵∠BGA＞∠BFA，
∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，
∴∠GHB=∠EFB，
∴GH∥EF，
∴∠EFD=∠HGF，
根據已知不能推出∠AGB=∠HGF，
∴∠AGB≠∠EFD，
即△DEF和△ABG不全等，∴②錯誤；
∵根據折疊得：AB=BH=6，BC=BF=10，
∴由勾股定理得：AF= =8，
∴DF=10﹣8=2，HF=10﹣6=4，
設AG=HG=x，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2=GF2 ，
即x2+42=（8﹣x）2 ，
解得：x=3，
即AG=HG=3，
∴S△ABG= = =9，S△FHG= = =6，∴③錯誤；
∵AG+DF=3+2=5，GF=10﹣3﹣2=5，∴④正確；
故答案為：①④．
根據矩形的性質得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根據折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根據勾股定理求出AG=GH=3，再逐個判斷即可．