Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC上有一點P，連接BP、DP，過點P作PE⊥PB交CD于點E，連接BE．

（1）求證：BP=EP；

（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度數；

（3）探究AP、PC、BE之間的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EBC=30°；（3）BE2＝AP2+PC2，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）利用正方形的性質得出△CBP≌△CDP，得出BP＝DP，利用四邊形的內角和，得出EP＝DP，從而得出結論；（2）取BE的中點F，得出△CEF是等邊三角形，利用撒尿行內角和定理，得出∠EPC＝30°；（3）過點P作PC/⊥AC，得出△BPC≌△EPC/, 近而得出四邊形ABEC/為平行四邊形，在Rt△APC/中，利用勾股定理得出結論即可.

試題解析：

（1）∵ 四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，AC平分∠BCD， 即 ∠BCP＝∠DCP，

又CP是公共邊 所以△CBP≌△CDP ∴ BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC

∵ ∠BPE－∠BCE＝90°，∠BPE+∠BCE+∠PBC+∠PEC＝360°∴∠PBC+∠PEC＝90°

∵ ∠PED+∠PEC＝90°∴∠PED＝∠PBC∴∠PED＝∠PDC∴EP＝DP,

∴ BP＝DP ．

（2）取BE的中點F，連CF，則CE＝CF－EF＝3, ∴△CEF是等邊三角形，則∠BEC＝60°，

∵∠BCE＝90°，∴∠EBC+∠BEC＝90°, ∴∠EBC ＝30°, ∵∠EBC+∠BCP＝∠PEB+∠EPC,

∠PEB＝∠BCP＝45°∴∠EBC ＝∠EPC＝30°﹒

（3）過點P作PC/⊥AC，交CD的延長線于C/,得△BPC≌△EPC/, CP＝C/P,BC＝EC/,

∵AB＝BC，∴AB＝EC/∵AB∥EC/∴四邊形ABEC/為平行四邊形，∴AC/＝BE,

∵在Rt△APC/中，C/A2＝AP2+C/P2∴BE2＝AP2+PC2﹒