Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點，.

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N，

①點在線段上運動，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標；

②點在軸上自由運動，若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱，，三點為“共諧點”.請直接寫出使得，，三點成為“共諧點”的的值.

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），；（2）①點M的坐標為（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

【解析】

試題分析：(1) 把點代入求得c值，即可得點B的坐標；拋物線經過點，即可求得b值，從而求得拋物線的解析式；（2）由軸，M（m，0），可得N( )，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°兩種情況求點M的坐標；②分N為PM的中點、P為NM的中點、M為PN的中點3種情況求m的值.

試題解析：

（1）直線與軸交于點，

∴，解得c=2

∴B（0，2），

∵拋物線經過點，

∴，∴b=

∴拋物線的解析式為；

（2）∵軸，M（m，0），∴N( )

①有（1）知直線AB的解析式為，OA=3，OB=2

∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP =90°，

分兩種情況討論如下：

（I）當∠NBP=90°時，過點N作NC軸于點C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

BC=

∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠BNC=∠ABO，

∴Rt△NCB∽ Rt△BOA

∴ ,即 ，解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

（II）當∠BNP=90°時， BNMN，

∴點N的縱坐標為2，

∴

解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

綜上，點M的坐標為（，0）或M（，0）；

②m=-1或m=或m=.