Question

【題目】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延長線上一點，E是AC上一點，DE交BC于點F.

(1)如圖①，若BD＝CE，求證：DF＝EF.

(2)如圖②，若BD＝CE，試寫出DF和EF之間的數量關系，并證明．

(3)如圖③，在(2)的條件下，若點E在CA的延長線上，那么(2)中結論還成立嗎？試證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF＝EF.（3）成立，證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）在題圖①中作EG∥AB交BC于點G，利用平行線的性質和等腰三角形的性質可證得：EG=EC；再證△BFD≌△GFE即可；

（2）在題圖②中作EG∥AB交BC于點G，則∠D＝∠FEG.同(1)可得EG＝EC；

再證△BFD∽△GFE，利用相似三角形的性質即可證得：DF＝EF.

（3）在題圖③中作EG∥AB交CB的延長線于點G，同（2）證：EG＝EC，△BFD∽△GFE，再利用相似三角形的性質可得：DF＝EF，即（2）中的結論任然成立

試題解析：

(1)在題圖①中作EG∥AB交BC于點G，

則∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC.

∵BD＝CE，∴BD＝EG.

∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE，

∴△BFD≌△GFE.

∴DF＝EF.

(2)解：DF＝EF.

在題圖②中作EG∥AB交BC于點G，則∠D＝∠FEG.由(1)得EG＝EC.

∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG，

∴△BFD∽△GFE.

∴.

∵BD＝CE＝EG，

∴DF＝EF.

(3)成立．

在題圖③中作EG∥AB交CB的延長線于點G，

則仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.

∴，

∵BD＝CE＝EG，

∴DF＝EF.