Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC的中點，點E在AC上，點F在BC上，且AE＝BF．

(1)求證：DE＝DF；

(2)連接EF，求∠DEF的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠DEF＝45°.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得出∠A=∠C=∠DEC=45°，AD=BD=DC，BD⊥AC，根據SAS推出△AED≌△BFD，根據全等三角形的性質得出即可；
（2）根據△AED≌△BFD得出DE=DF，∠ADE=∠BDF，求出∠BDA=90°，推出∠EDF=∠BDA=90°，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理得出即可．

(1)∵△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵D是AC的中點，∴BD＝AD＝DC，∴∠DBF＝∠C＝45°＝∠A，又∵AE＝BF，∴△AED≌△BFD(SAS)，∴DE＝DF(其他證法也可)；

(2)∵AB=BC，AD=CD，∴BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵△AED≌△BFD，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠BDF+∠BDE＝90°，即∠EDF＝90°.由(1)知DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°．