Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（6，6），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連結CH、CG．

（1）求證：CG平分∠DCB；

（2）在正方形ABCO繞點C逆時針旋轉的過程中，求線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關系；

（3）連結BD、DA、AE、EB，在旋轉的過程中，四邊形AEBD是否能在點G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線DE的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉和正方形的性質可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；

（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根據(jù)線段間的關系即可得出HG＝HD+DG＝OH+BG；

（3）根據(jù)（2）的結論即可找出當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形，再根據(jù)正方形的性質以及點B的坐標可得出點G的坐標，設H點的坐標為（x，0），由此可得出HO＝x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即可得出點H的坐標，結合點H、G的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．

（1）∵正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，∵，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．

（2）由（1）證得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．

（3）假設四邊形AEBD可為矩形．

當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形，如圖所示．

∵G點為AB中點，∴BG＝GAAB，由（2）證得：BG＝DG，則BG＝GA＝DGABDE＝GE，又AB＝DE，∴四邊形AEBD為矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．

∵AGAB＝3，∴G點的坐標為（6，3）．

設H點的坐標為（x，0），則HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．

在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H點的坐標為（2，0）．

設直線DE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），將點H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直線DE的解析式為：y．

故四邊形AEBD能為矩形，此時直線DE的解析式為：y．