Question

【題目】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D、E分別為邊AB、AC上的一點，將圖形沿線段DE所在的直線翻折，使點A落在BC邊上的點F處求證：；

（2）如圖2，按圖1的翻折方式，若等邊△ABC的邊長為4，當時，求的值；

（3）如圖3，在中，，點D是AB邊上的中點，在BC的下方作射線BE，使得，點P是射線BE上一個動點，當，求BP的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）2或6

【解析】

（1）根據三角形外角的性質證明∠BDF=∠EFC，從而可得△BDF∽△CFE，根據相似三角形對應邊成比例即可得出結論；

（2）過D作DH⊥BC．設BF=x，則CF=4-x．設EF=2a，則DF=3a，AE=2a，BD=4-AD=4-3a，CE=4-AE=4-2a，由相似三角形對應邊成比例，即可得出x、a的值，從而求得BD、DF、DH的長，根據正弦的定義即可得出結論；

（3）解Rt△ABC得到BC、AB、BD的長．過C作CF⊥BC，交BE于F，解Rt△BCF，得到CF、BF的長．通過證明△DBPΔPFC，由相似三角形對應邊成比例即可得出結論．

（1），

又，

，

．

又，

，

，

即．

（2）過D作．

設，則．

設，則，AE=2a，

，

．

由（1）知，

，

即，

，

，

，

．

，

，

．

（3）∵，

∴，

，

∴．

過C作，交BE于F．

∵∠CBF=30°，

∴CF=BC=，

∴CF=4，∴BF=2CF=8．

∵，

．

∴，

又，

∴，

∴，即，

∴或6．