Question

【題目】（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D為AC上一點且AD＝2，過點D作直線DE交△ABC于點E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為　 　．

（2）類比發現：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點坐標為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經過頂點A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應的函數表達式．

（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x﹣4；（3）存在，長度為

【解析】

（1）如圖1中，取AC的中點F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O，結合三角形面積，再利用相似三角形的性質可求出CE的長，最后利用勾股定理即可求解；

（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，根據點坐標可求出直線AO，BE，AC，DF的解析式，從而可求出點E，F,M的坐標，從而可得出直線AM的解析式；

（3）先求出四邊形ABCD的面積，即可求出四邊形ABQD的面積，從而求出QM，再利用平行線分線段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后利用勾股定理即可．

解：（1）如圖1中，取AC的中點F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O．

∵AF=FC，

∴S△AFB=S△BFC，

∵BD∥EF，

∴S△BDE=S△BDF，

∴S△DFO=S△BOE，

∴S△ECD=S四邊形ABED，

∴DE平分△ABC的面積，

∵AC=8，AD=2，

∴AF=CF=4，DF=2，

∵EF∥BD，

∴，

∴，

∴CE=4，

∴DE．

故答案為：2．

（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，

∵直線AO的解析式為y=x，

∴直線BE解析式為y=x+2，

∴點E坐標（﹣，0），

∵直線AC的解析式為y=﹣4x+16，

∴直線DF的解析式為y=﹣4x+18，

∴點F坐標為（，0）

∴EF的中點M坐標為（，0），

∴直線AM的解析式為：y=x﹣4．

（3）如圖3中，連接BD，AC交于點O．在BC上取一點Q，過Q作QM⊥BD，

∵AB=AD=200、BC=CD=200，

∴AC是BD的垂直平分線，

在Rt△ABD 中，BD=AB=200，

∴DO=BO=OA=100，

在Rt△BCO 中，OC=＝300，

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD×（AO+CO）=×200×（100+300）=80000，

∵在一條過點D的直線將箏形ABCD的面積二等分，

∴S四邊形ABQD＝S四邊形ABCD=40000，

∵S△ABD＝×BD×OA=20000，

∴S△QBD=BD×QM=×200×QM=100QM＝S四邊形ABQD﹣S△ABD=20000，

∴QM=100，

∵QM∥CO．

∴

∴

∴BM=，

∴DM=BD﹣BM=，

在Rt△MQD 中，．