Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交BA的延長線于點M．

（1）試探究AP與BQ的數量關系，并證明你的結論；
（2）當AB=3，BP=2PC，求QM的長；
（3）當BP=m，PC=n時，求AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AP=BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

（2）

解：過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP= = = ，

∴BH= = =2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折疊可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根據勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，

解得x= ．

∴QM的長為 ；

（3）

解：過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，

∴BH=PB=m．

設QM=x，則有MB=QM=x，MH=x﹣m．

在Rt△MHQ中，

根據勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，

解得x=m+n+ ，

∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= ．

∴AM的長為 ．

【解析】（1）要證AP=BQ，只需證△PBA≌△QCB即可；（2）過點Q作QH⊥AB于H，如圖．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后運用勾股定理可求得AP（即BQ）= ，BH=2．易得DC∥AB，從而有∠CQB=∠QBA．由折疊可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中運用勾股定理就可解決問題；（3）過點Q作QH⊥AB于H，如圖，同（2）的方法求出QM的長，就可得到AM的長．