Question

【題目】如圖1，將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ.

發(fā)現(xiàn)：∠POQ＝________時(shí)，PQ有最大值，最大值為________；

思考：（1）如圖2，若P是OB中點(diǎn)，且QP⊥OB于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)；

（2）如圖3，將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，求陰影部分面積；

探究：如圖4，將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為C，若OP＝6，求點(diǎn)O到折痕PQ的距離．

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)： 90°，10； 思考：（1）；（2）25π100+100；（3）點(diǎn)O到折痕PQ的距離為.

【解析】發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)論；

思考：（1）先判斷出∠POQ=60°，最后用弧長(zhǎng)用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；

（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(1010)2=（10-OP）2，解得OP=1010，最后用面積的和差即可得出結(jié)論．

探究：先找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接OO′、O′B、O′C、O′P，證明四邊形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，從而求出OO′的長(zhǎng)，則OM=OO′=．

發(fā)現(xiàn)：∵P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

此時(shí)，∠POQ=90°，PQ==10；

思考：（1）如圖，連接OQ，

∵點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，

∴OP=OB=OQ．

∵QP⊥OB，

∴∠OPQ=90°

在Rt△OPQ中，cos∠QOP=，

∴∠QOP=60°，

∴lBQ=

（2）由折疊的性質(zhì)可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝10，

在Rt△B'OP中，OP2+(1010)2=（10-OP）2

解得OP=1010，

S陰影=S扇形AOB/span>-2S△AOP=

＝25π100+100；

探究：如圖2，找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接OO′、O′B、O′C、O′P，

則OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，點(diǎn)O′是所在圓的圓心，

∴O′C=OB=10，

∵折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切于C點(diǎn)，

∴O′C⊥AO，

∴O′C∥OB，

∴四邊形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B=，

在Rt△OBO′K，OO′=，

∴OM=OO′=×=，

即O到折痕PQ的距離為．