Question

【題目】如圖1，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點重合，點在對角線上．

問題發現

（1）如圖1，與的數量關系為______．

類比探究

（2）如圖2，將正方形繞點旋轉度（）．請問（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由．

拓展延伸

（3）若為的中點，在正方形的旋轉過程中，當點，，在一條直線上時，線段的長度為______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析；（3）或

【解析】

問題發現：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結論；

類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結論；

拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質得出AB=BC=4，，，GH=HF=HE=HC，得出，，，由勾股定理求出，即可得出答案．

[問題發現]

解：，理由如下：

∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，

∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，

∴AB∥EF，

∴，

；

故答案為：；

[類比探究]

解：上述結論還成立，理由如下：

連接CE，如圖2所示：

∵∠FCE=∠BCA=45°，

∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

，

，

∴△ACE∽△BCF，

，

；

[拓展延伸]

解：分兩種情況：

①如圖3所示：

連接CE交GF于H，

∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，

∴AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，HF=HE=HC，

∵點F為BC的中點，

∴CF=BC=2，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，

∴，

∴；

②如圖4所示：連接CE交GF于H，

同①得：GH=HF=HE=HC=，

∴，

∴；

故答案為：或．