Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2，D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB﹣BD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA﹣AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△PQD的面積為S．

（1）求線段PB的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式）．

（2）當(dāng)△PQD是等邊三角形時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)S＞0時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（4）若點(diǎn)D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D′，且S＞0，直接寫出點(diǎn)D′落在△ABC的邊上時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）BP=t﹣2；（2）1；（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，，當(dāng)2＜t＜3時(shí)，．（4）1或2.5.

【解析】

試題分析: （1）根據(jù)當(dāng)0≤t≤2和2≤t≤3時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可；

（3）根據(jù)當(dāng)0≤t≤2和2＜t＜3時(shí)兩種情況，利用三角函數(shù)和三角形面積公式解答即可．

（4）根據(jù)點(diǎn)D′落在△ABC的邊上兩種情況解答即可．

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=2，

∴當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BP=2﹣t；

當(dāng)2≤t≤3時(shí)，BP=t﹣2；

（2）如圖1，∵△PQD是等邊三角形，

∴∠PDQ=60°，

∴∠PDB+∠CDQ=120°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠PDB+∠BPD=120°，

∴∠BPD=∠CDQ，

∵BD=CD，

在△BPD與△CDQ中，

，

∴△BPD≌△CDQ（AAS），

∴BP=CQ，

∴2﹣t=t，

∴t=1，

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖2，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，D是邊BC的中點(diǎn)，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin60°=，

分別過(guò)點(diǎn)P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，

在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PBsin60°=，

在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQsin60°=，

過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，

在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQsin60°=，

∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ，

∴，

∴，

當(dāng)2＜t＜3時(shí)，如圖3

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，

在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，

QH=CQsin60°=，

∴，

∴．

（4）點(diǎn)D′落在△ABC的邊上，如圖4，此時(shí)t=1；

點(diǎn)D′落在△ABC的邊上，如圖5，此時(shí)t=2.5．