Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動點，且，連結AD、AE，點M、N、P分別是CD、AE、AC的中點，設．

（1）觀察猜想

①在求的值時，小明運用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：

如圖1，先由，得到，再由中位線的性質得到，

，進而得出△PMN為等邊三角形，∴．

②如圖2，當，仿照小明的思路求的值；

（2）探究證明

如圖3，試猜想的值是否與的度數有關，若有關，請用含的式子表示出，若無關，請說明理由；

（3）拓展應用

如圖4，，點D、E分別是射線AB、CB上的動點，且，點M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點，當時，請直接寫出MN的長．

Answer 1

【答案】（1）②；（2）的值與的度數有關，；（3）MN的長為或．

【解析】

（1）②先根據線段的和差求出，再根據中位線定理、平行線的性質得出，從而可得出，然后根據等腰直角三角形的性質即可得；

（2）參照題（1）的方法，得出為等腰三角形和的度數，再利用等腰三角形的性質即可求出答案；

（3）分兩種情況：當點D、E分別是邊AB、CB上的動點時和當點D、E分別是邊AB、CB的延長線上的動點時，如圖（見解析），先利用等腰三角形的性質與判定得出，再根據相似三角形的判定與性質得出BC、CE的長，由根據等腰三角形的三線合一性得出，從而可得的值，最后分別利用（2）的結論即可得MN的長．

（1）②

∴

∴為等腰直角三角形，

∵點M、N、P分別是CD、AE、AC的中點

∴

∴為等腰直角三角形，

∴

即；

（2）的值與的度數有關，求解過程如下：

由（1）可知，，即為等腰三角形

如圖5，作

則

在中，，即

則；

（3）依題意，分以下兩種情況：

①當點D、E分別是邊AB、CB上的動點時

如圖6，作的角平分線交AB邊于點F，并連結BP

，

，即

設，則

解得或（不符題意，舍去）

即

由（2）可知，

點P是AC上的中點

，（等腰三角形的三線合一）

在中，，即

②如圖7，當點D、E分別是邊AB、CB的延長線上的動點時

同理可得：

綜上，MN的長為或．