Question

【題目】已知二次函數y=2x2+bx﹣1．

（1）求證：無論b取什么值，二次函數y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交點．

（2）若兩點P（﹣3，m）和Q（1，m）在該函數圖象上．

①求b、m的值；

②將二次函數圖象向上平移多少單位長度后，得到的函數圖象與x軸只有一個公共點？

Answer 1

【答案】（1）無論b取什么值，二次函數y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交點．

（2）b=4，m=5；（3）二次函數圖象向上平移3個單位

【解析】

試題分析：（1）先計算判別式的值，再利用非負數的性質可判斷△=＞0，然后根據判別式的意義可判斷拋物線與x軸必有兩個交點；

（2）①先利用拋物線的對稱性可確定拋物線的對稱軸方程，從而可求出b的值，然后計算自變量為1所對應的函數值即可得到m的值；

②設平移后拋物線的關系式為y=2x2+4x﹣1+k，根據判別式的意義△=0得到關于k的方程，然后解方程求出k的值即可判斷拋物線平移的距離．

試題解析：（1）證明：∵△=b2﹣4×2×（﹣1）=b2+8＞0，

∴無論b取何值時，二次函數y=2x2+b x﹣1圖象與x軸必有兩個交點；

（2）解：①∵點P、Q是二次函數y=2x2+bx﹣1圖象上的兩點，且兩點縱坐標都為m

∴點P、Q關于拋物線對稱軸對稱，

∴拋物線對稱軸是直線x=﹣1，

∴，解得b=4，

∴拋物線解析式為y=2x2+4x﹣1，

當x=1時，m=2×12+4×1﹣1=5；

②設平移后拋物線的關系式為y=2x2+4x﹣1+k，

∵平移后的圖象與x軸僅有一個交點，

∴△=16+8﹣8 k=0，解得k=3，

即將二次函數圖象向上平移3個單位時，函數圖象與x軸僅有一個公共點．