Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF。

（1）求證：△EBF≌△DFC；

（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）①△ABC滿足_____________________時，四邊形AEFD是菱形。（無需證明）

②△ABC滿足_______________________時，四邊形AEFD是矩形。（無需證明）

③△ABC滿足_______________________時，四邊形AEFD是正方形。（無需證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）①AB=AC②∠BAC=150°，③AB=AC，∠BAC=150°

【解析】試題分析：（1）由三角形BCF與三角形AEB為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，一對角相等，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS即可得證；

（2）可通過證△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后證△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；從而證得四邊形ADFE的兩組對邊分別相等，即可得出ADFE是平行四邊形；

（3）①當∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度數，則可得ADFE是矩形；

②當AE=AD時，ADFE是菱形；

③當ADFE是正方形時，∠EAD=90°，且AE=AD，聯立（2）（3）的結論即可．

試題解析：（1）連接EF、DF，

∵△ABE、△CBF是等邊三角形，

∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；

∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF；

∴△EFB≌△ACB；

∴EF=AC=AD；

（2）同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；

（3）①由AE=DF，AD=EF即可得出四邊形AEFD是平行四邊形；若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；

②由（2）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；

③綜合①②的結論知：當△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時，四邊形AEFD是正方形．