Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 中，已知點和點的坐標分別為，，將繞點按順時針分別旋轉，得到，，拋物線經過點，，；拋物線經過點，，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如果點是直線上方拋物線上的一個動點．

①若 ，求點的坐標；

②如圖，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，記，求與的函數關系式．當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①符合條件的點的坐標為或．②h=當時，的取值范圍是．

【解析】

（1），由旋轉得到，則OC=OB=OF，OE=OA=O，所以點E的坐標為（2，0），點F坐標為（0，6），點C坐標為（-6，0），設的解析式為，利用待定系數法求解即可；

（2）①分點P在x軸上方時或在x軸下方時進行討論求解即可得；

②過點 作 于點 ，則 ，結合二次函數最值問題進行求解即可得．

（1），由旋轉得到，則OC=OB=OF，OE=OA=O，所以點E的坐標為（2，0），點F坐標為（0，6），點C坐標為（-6，0），設的解析式為，

代入點坐標即可得：

∴的解析式為，

故答案為：:；

（2）①若點在軸的上方，且 時，則 與拋物線 的交點即為所求的 點，設直線 的解析式為：．

解得

直線 的解析式為：，

聯立

解得 或

．

若點在 軸的下方，且 時，則直線 關于 軸對稱的直線 與拋物線 的交點即為所求的 點．

設直線 的解析式為：．

解得

直線 的解析式為：．

聯立 解得 或

；

符合條件的點 的坐標為 或 ．

②設直線 的解析式為：，

解得

直線 的解析式為：，

過點 作 于點 ，則 ，

，

h=

=

=

=

=

∴，

，

當 時，的最大值為 ．

，當 時，，

當時，，

當時， 的取值范圍是 ，

故答案為：①符合條件的點的坐標為或．

②h=當時，的取值范圍是．