Question

【題目】（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點A為OM上一點，點B為OP上一點．請你利用該圖形在ON上找一點C，使△COB≌△AOB，請在圖①畫出圖形．參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你寫出FE與FD之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（2）中所得結論是否仍然成立？請你直接作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）DF=EF，理由見解析；（3）DF=EF 仍然成立，理由見解析.

【解析】（1）在∠MON的兩邊上以O為端點截取相等的兩條相等的線段，兩個端點與角平分線上任意一點相連，所構成的兩個三角形全等，即△COB≌△AOB；

（2）根據圖（1）的作法，在CG上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根據ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根據圖（1）的作法，在CG上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE=FG；再根據ASA證明△FDC≌△FGC，得DF=FG，故得出EF=FD．

解：（1）如圖①所示，△COB≌△AOB，點C即為所求．

（2）如圖②，在CG上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG=CD，∠DCF=∠GCF，CF=CF，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）==60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

∠AFE=∠AFG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（3）DF=EF 仍然成立．

證明：如圖③，在CG上截取AG=AE，

同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA．

又由題可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=60°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG，

∴FE=FD．

“點睛”此題主要考查全等三角形的判定和性質的運用，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造全等三角形.