Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于圖形，若存在一個正方形，這個正方形的某條邊與軸垂直，且圖形上的所有的點都在該正方形的內部或者邊上，則稱該正方形為圖形的一個正覆蓋．很顯然，如果圖形存在一個正覆蓋，則它的正覆蓋有無數個，我們將圖形的所有正覆蓋中邊長最小的一個，稱為它的緊覆蓋，如圖所示，圖形為三條線段和一個圓弧組成的封閉圖形，圖中的三個正方形均為圖形的正覆蓋，其中正方形就是圖形的緊覆蓋．
（1）對于半徑為2的，它的緊覆蓋的邊長為____.

（2）如圖1，點為直線上一動點，若線段的緊覆蓋的邊長為，求點 的坐標．
（3）如圖2，直線與軸，軸分別交于
①以為圓心，為半徑的與線段有公共點，且由與線段組成的圖形的緊覆益的邊長小于，直接寫出的取值范圍；
②若在拋物線 上存在點，使得的緊覆益的邊長為，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（，2）或（2，-1）；（3）①≤r＜1；②a≥或a≤-2．

【解析】

（1）由題意半徑為2的⊙O的外切正方形是半徑為2的⊙O緊覆蓋，由此即可解決問題；
（2）由題意當點P到坐標軸的距離等于2時，線段OP的緊覆蓋的正方形的邊長為2．分兩種情形分別求解即可；
（3）①如圖2中，作OH⊥AB于H．利用兩種特殊位置解決問題即可；
②如圖2-1中，由題意當拋物線與圖中矩形EFGH區域有交點時，在拋物線y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在點C，使得△ABC的緊覆益的邊長為3；

（1）由題意半徑為2的⊙O的外切正方形是半徑為2的⊙O緊覆蓋，
∴緊覆蓋的邊長為4，
故答案為4．
（2）由題意當點P到坐標軸的距離等于2時，線段OP的緊覆蓋的邊長為2．

①當點P在第一象限時，作PH⊥x軸于H則PH=2，
y=2時，2=-2x+3，
x=，
∴P（，2）．
②當點P′在第三象限時，作P′H′⊥y軸，則P′H′=2，
當x=2時，y=-1，
∴P′（2，-1）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（，2）或（2，-1）．
（3）①如圖2中，作OH⊥AB于H．

由題意A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，AB=，
∵OAOB=ABOH，
∴OH=，
當⊙O經過點A時，r=1，此時由⊙O與線段AB組成的圖形G的緊覆益的邊長為4，
觀察圖象可知滿足條件的r的范圍為：≤r＜1．
②如圖2-1中，如圖由題意當拋物線與圖中矩形EFGH區域有交點時，在拋物線y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在點C，使得△ABC的緊覆益的邊長為3．

由題意E（-3，3），F（-3，0），G（2，0），H（2，3）．
當拋物線經過點G時，4a+4a-2=0，
∴a=，
∵拋物線的對稱軸x=-1，經過（0，-2），
觀察圖象可知，當a≥時，在拋物線y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在點C，使得△ABC的緊覆益的邊長為3．
當a＜0時，拋物線經過點A時，解析式為y=-2（x+1）2，
觀察圖象可知，當a≤-2時，在拋物線y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在點C，使得△ABC的緊覆益的邊長為3．
綜上所述，滿足條件的a的值為a≥或a≤-2．