Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、F，連接BD交OF于點E．

（1）求證：OF⊥BD；

（2）若AB=，DF=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AF．根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明；
（2）設AD=x．根據圓周角定理的推論和勾股定理進行求解．

解：（1）證明：連接AF，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴FC=FB．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠OEB=∠ADB=90°，

∴OF⊥BD．

（2）設AD=x，

∵OF⊥BD，

∴可得OF是BD的中垂線，

∴FD=FB，

∴∠1=∠2，

∴BF=DF=，

∵OF⊥DB，

∴ED=EB．

∴OE=AD=，FE=OF﹣OE=，

在Rt△FEB中，BE2=EB2﹣FE2=；

在Rt△OFB中，BE2=OB2﹣OE2=；

∴=

解得：x=，

即AD=．