Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；

（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．

①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；

②若⊙M的半徑為，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）OP=；（3）①（i）M（1，﹣2）（ii）M′（， ），②點M的坐標為（2，0）或（-3，10）．

【解析】（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，利設出兩點法解析式，然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；

（2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；

（3）①根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是﹣2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標；

②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐標．

解：（1）設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），

將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），

解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），

即y=x2﹣x﹣2；

（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在Rt△POC中，

由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，

解得，x=，

即OP=；

（3）①∵△CHM∽△AOC，

∴∠MCH=∠CAO，

（i）如圖1，當H在點C下方時，

∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC

∴∠OCA+∠MCH=90°

∴∠OCM=90°=∠AOC

∴CM∥x軸

∴yM=﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣2，

解得x1=0（舍去），x2=1，

∴M（1，﹣2），

（ii）如圖1，當H在點C上方時，

∵∠MCH=∠CAO，

∴PA=PC，由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點，

設直線CM′的解析式為y=kx﹣2，把P（，0）的坐標代入，得k﹣2=0，

解得k=，

∴y=x﹣2，

由x﹣2=x2﹣x﹣2，

解得x1=0（舍去），x2=，

此時y=×﹣2=，

∴M′（， ），

②在x軸上取一點D，如圖（備用圖），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=，，

在Rt△AOC中，AC=，

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，∴，

解得AD=3，

∴D（2，0）或D（﹣4，0）．

過點D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖（備用圖）

則直線DM的解析式為：y=﹣2x+4或y=﹣2x﹣8，

當﹣2x﹣8=x2﹣x﹣2時，即x2+x+6=0，方程無實數根，

當﹣2x+4=x2﹣x﹣2時，即x2+x﹣6=0，解得x1=2，x2=-3，

∴點M的坐標為（2，0）或（-3，10）．

“點睛”本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，勾股定理，相似三角形的性質，兩函數圖象交點的求解方法，綜合性較強，難度較大，要注意分情況討論求解．