Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，AD＝15，AO＝12．動點P以每秒2個單位的速度從點A出發，沿AC向點C勻速運動．同時，動點Q以每秒1個單位的速度從點D出發，沿DB向點B勻速運動．當其中有一點列達終點時，另一點也停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）求線段DO的長；

（2）設運動過程中△POQ兩直角邊的和為y，請求出y關于x的函數解析式；

（3）請直接寫出點P在線段OC上，點Q在線段DO上運動時，△POQ面積的最大值，并寫出此時的t值．

Answer 1

【答案】（1）9（2）見解析（3）當t＝時，△POQ面積的最大值

【解析】

（1）根據菱形的對角線互相垂直平分的性質得到直角△AOD，在該直角三角形中利用勾股定理來求線段DO的長度；

（2）需要分類討論：點P在線段OA上、點Q在線段OD上；點P在線段OC上，點Q在線段OD上；點P在線段OC上，點Q在線段OB上；

（3）由6＜t≤9時OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面積S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函數的性質求解可得．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12

由勾股定理得：

OD＝＝9．

（2）①當0≤t≤6時，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，則OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21

即：y＝﹣3t+21；

②當6＜t≤9時，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，則OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3

即：y＝t﹣3；

③當9＜t≤12時，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，則OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21

即：y＝3t﹣21；

綜上所述：y＝；

（3）如圖，

當6＜t≤9時，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，

∴△POQ的面積S＝（9﹣t）（12﹣2t）

＝﹣t2+15t﹣54

＝﹣（t﹣）2+，

∴當t＝時，△POQ面積的最大值．