Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，B（4，2），過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．

（1）直接寫出直線DE的解析式_________;

（2）若反比例函數y＝（x＞0）的圖象與直線MN有且只有一個公共點，求m的值.

(3)在分別過M,B的雙曲線y＝（x＞0）上是否分別存在點F,G使得B,M,F,G構成平行四邊形,若存在則求出F點坐標, 若不存在則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+3；（2）4.5（3）(3，).

【解析】

（1）將點D，E的坐標代入y=kx+b即可求出DE的解析式；
（2）聯立直線MN解析式與反比例函數解析式，構造一元二次方程，使根的判別式為0即可；
（3）分別求出兩條雙曲線的解析式，設出點F，G的坐標，利用平行四邊行的性質對邊平行且相等及對角線互相平分，即可求出點F的坐標．

解：（1）設直線DE的解析式為y=kx+b，
將點D（0，3），E（6，0）代入y=kx+b中，
得

解得，

∴直線DE的解析式為y=-x+3；

(2) 由（1）知，直線DE的解析式為y=-x+3，
∴直線MN的解析式為y=-x+3①，
∵反比例函數y=（x＞0）②，
聯立①②化簡得，x2-6x+2m=0，
∵反比例函數y=（x＞0）的圖象與直線MN有且只有一個公共點，
∴△=36-4×2m=4（9-2m）=0，∴m=；

(3) ）∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∵B（4，2），
∴點M的縱坐標為2，N的橫坐標為4，
∵點M，N在直線DE：y=-x+3上，當y=2時，-x+3=2，
∴x=2，
∴M（2，2），
當x=4時，y=1，
∴N（（4，1），
將M（2，2）代入y1=，
得，m=4，
∴y1=，
將B（4，2）代入y2=，
得，m=8，
∴y2=，
設G（a，），F（b，），
①假設存在，如圖1-1，當MB作為平行四邊形一邊時，
∵MB=2，yM=yB，
∴GF=2，yF=yG，

∴ 或

∴G（4，2），F（2，2），分別與B，M重合，舍去，
或G（-4，-2），F（-2，-2），在y軸左邊，舍去；

②如圖1-2，當MB為平行四邊形對角線時，
MB與GF互相平分，

則= =3，= =2，

∴

解得， （舍去）或

∴G (3，)，F(3，).

綜上所述，點F坐標為(3，).