Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB＝4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在弧AQ上且不與A點重合，但Q點可與B點重合．

（1）弧AP的長與弧QB的長之和為定值l，請直接寫出l的值；

（2）請直接寫出點M與AB的最大距離，此時點P，A間的距離；點M與AB的最小距離，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積．

（3）當半圓M與AB相切時，求弧AP的長．

（注：結果保留π，cos 35°＝，cos 55°＝）

Answer 1

【答案】（1）；（2），2， ， ；（3）弧AP的長為或．

【解析】試題分析：（1）半圓O的長度是固定不變的，由于PQ也是定值，所以的長度也是固定值，所以與的長之和為定值；

（2）過點M作MC⊥AB于點C，當C與O重合時，M與AB的距離最大，此時，∠AOP=60°，AP=2；當Q與B重合時，M與AB的距離最小，此時圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可；

（3）當半圓M與AB相切時，此時MC=1，且分以下兩種情況討論，當C在線段OA上；當C在線段OB上，然后分別計出的長．

試題解析：

(1)如圖1,連接OP、OQ,

∵AB=4，

∴OP=OQ=2，

∵PQ=2，

∴△OPQ是等邊三角形，

∴∠POQ=60°，

∴，

又∵半圓O的長為： π×4=2π，

∴=2π ，

∴；

（2）如圖2，過點M作MC⊥AB于點C，連接OM，

∵OP=2,PM=1,

∴由勾股定理可知：OM=，

當C與O重合時，

M與AB的距離最大,最大值為，

連接AP，

此時，OM⊥AB，

∴∠AOP=60，

∵OA=OP，

∴△AOP是等邊三角形，

∴AP=2，

如圖3,當Q與B重合時,連接DM，

∵∠MOQ=30°，

∴MC=OM=，

此時,M與AB的距離最小,最小值為，

設此時半圓M與AB交于點D，

DM=MB=1，

∵∠ABP=60°，

∴△DMB是等邊三角形，

∴∠DMB=60°，

∴扇形DMB的面積為： ，

△DMB的面積為： MCDB=，

∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為： ；

（3）當半圓M與AB相切時,

此時，MC=1，

如圖4，當點C在線段OA上時，

在Rt△OCM中，

由勾股定理可求得：OC=，

∴cos∠AOM=，

∴∠AOM=35°，

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=∠AOM∠POM=5°，

∴，

當點C在線段OB上時，

此時,∠BOM=35°,

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=180∠POM∠BOM=115°

∴，

綜上，弧AP的長為或．