Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發以lcm/s的速度沿折線AC﹣CB運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，當點P不與點A、B重合時，以線段PQ為邊向右作正方形PQRS，設正方形PQRS與△ABC的重疊部分面積為S，點P的運動時間為t（s）．

（1）用含t的代數式表示CP的長度；

（2）當點S落在BC邊上時，求t的值；

（3）當正方形PQRS與△ABC的重疊部分不是五邊形時，求S與t之間的函數關系式；

（4）連結CS，當直線CS分△ABC兩部分的面積比為1：2時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜t＜4時，CP＝4﹣t，當4≤t＜8時，CP＝t﹣4；（2）；（3）S＝；（4）或

【解析】

（1）分兩種情形分別求解即可．

（2）根據PA+PC＝4，構建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：如圖2中，當0＜t≤時，重疊部分是正方形PQRS，當4＜t＜8時，重疊部分是△PQB，分別求解即可．

（4）設直線CS交AB于E．分兩種情形：如圖4﹣1中，當AE＝AB＝時，滿足條件．如圖4﹣2中，當AE＝AB時，滿足條件．分別求解即可解決問題．

解：（1）當0＜t＜4時，∵AC＝4，AP＝t，

∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；

當4≤t＜8時，CP＝t﹣4；

（2）如圖1中，點S落在BC邊上，

∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，

∴AQ＝PQ＝PS＝t，

∵CP＝CS，∠C＝90°，

∴PC＝CS＝t，

∵AP+PC＝BC＝4，

∴t+t＝4，

解得t＝．

（3）如圖2中，當0＜t≤時，重疊部分是正方形PQRS，S＝（t）2＝t2．

當4＜t＜8時，重疊部分是△PQB，S＝（8﹣t）2．

綜上所述，S＝．

（4）設直線CS交AB于E．

如圖4﹣1中，當AE＝AB＝時，滿足條件，

∵PS∥AE，

∴，

∴，

解得t＝．

如圖4﹣2中，當AE＝AB時，滿足條件．

同法可得：，

解得t＝，

綜上所述，滿足條件的t的值為或．