Question

【題目】已知正方形ABCD，AB=8，點E、F分別從點A、D同時出發，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點B、C方向的運動，設運動時間為t．

（1）求證：OE=OF．

（2）在點E、F的運動過程中，連結AF．設線段AE、OE、OF、AF所形成的圖形面積為S．

探究：①S的大小是否會隨著運動時間為t的變化而變化？若會變化，試求出S與t的函數關系式；若不會變化，請說明理由．

②連結EF，當運動時間為t為何值時，△OEF的面積恰好等于的S．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①見解析②t為時

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根據SAS推出△EAO≌△FDO即可；

（2）①延長EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根據全等三角形的性質得出AE=CM=t，根據S=S四邊形AEMF﹣S△FOM求出即可；

②根據全等得出OE=OM，求出S△EOF=S△EFM=16﹣4t，即可得出方程16﹣4t=×16，求出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，

∵點E、F分別從點A、D同時出發，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點B、C方向的運動，設運動時間為t，

∴AE=DF=t，

在△EAO和△FDO中

∴△EAO≌△FDO（SAS），

∴OE=OF；

（2）解：①S的大小不會隨著運動時間為t的變化而變化，

理由是：延長EO交DC于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，

在△AOE和△COM中

∴△AOE≌△COM（ASA），

∴AE=CM=t，

∴S=S四邊形AEMF﹣S△FOM

=（t+8﹣t﹣t）8﹣×（8﹣t﹣t）4

=16，

所以S的大小不會隨著運動時間為t的變化而變化；

②∵△AOE≌△COM，

∴OE=OM，

∴S△EOF=S△FOM=S△EFM=×（8﹣t﹣t）8=16﹣4t，

∵△OEF的面積恰好等于的S，

∴16﹣4t=×16，

解得：t=，

即當運動時間為t為時，△OEF的面積恰好等于的S．