Question

【題目】如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接，，．

（1）求證：直線為的切線；

（2）若直徑的長為4．

①當(dāng)________時，四邊形為正方形；

②當(dāng)________時，四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2；②．

【解析】

（1）證，得出∠OPQ=∠OBQ=90°得證；

（2）①根據(jù)四邊形OBQP是正方形，可得點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，故而求得EP的長；

②利用菱形的性質(zhì)，對角線垂直且相互平分，可在Rt△CPO中求得CP的長，進(jìn)而得出EP的長．

（1）證明：∵切于點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴，，

而，

∴，

∴，

在和中

，

∴．

∴．

∴直線為切線；

（2）①如下圖所示

∵四邊形OBQP是正方形

∴OP⊥AB

∴點(diǎn)O與點(diǎn)E重合

∴EP=OP

∵直徑AB=4

∴OP=EP=2

②如下圖

∵四邊形AEOP是菱形

∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP

∵直徑AB=4

∴OP=2，CO=1

∴在Rt△PCO中，CP=

∴EP=．