Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2）當t為何值時，四邊形ACQP的面積最小，最小值是多少？

（3）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當t＝1或t＝時；（2）當t=1時，面積最小為18；（3）．

【解析】【試題分析】（1）分類討論： ，①當△BPQ△BAC時，

則＝，又因為BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

所以＝，解得：t＝1；

②當△BPQ△BCA時，則＝，即＝，解得：t＝．

綜合上述：當t＝1或t＝時，△BPQ與△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于點D．根據四邊形ACQP的面積等于總面積減去 的面積，設四邊形ACQP的面積為y，由題意得：

∵6＞0，∴當t=1時，面積最小為18．

（3）過點P作PM⊥BC于點M，設AQ與CP相交于點N，則有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．

【試題解析】

（1）①△BPQ與△ABC相似時，

則＝，

∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴＝，解得：t＝1；

②△BPQ與△BCA相似時，

則＝，即＝，

解得：t＝．

綜合上述：當t＝1或t＝時，△BPQ與△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于點D．

設四邊形ACQP的面積為y，由題意得：

∵6＞0，∴當t=1時，面積最小為18．

（3）過點P作PM⊥BC于點M，設AQ與CP相交于點N，則有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．