Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；

（3）試求出AM+AN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點坐標為（3，5）；（2）M點的坐標為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線解析式；利用等腰三角形的性質得B（3，0），然后計算自變量為3所對應的二次函數值可得到D點坐標；

（2）利用勾股定理計算出BC=5，設M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根據相似三角形的判定方法，當時，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即；當時，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即，然后分別求出m的值即可得到M點的坐標；

（3）連接DN，AD，如圖，先證明△ACM≌△DBN，則AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三邊的關系得到DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），然后計算出AD即可．

（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OB=OA=3，

∴B（3，0），

∵BD⊥x軸交拋物線于點D，

∴D點的橫坐標為3，

當x=3時，y=﹣×9+×3+4=5，

∴D點坐標為（3，5）；

（2）在Rt△OBC中，BC==5，

設M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，

∵∠MCN=∠OCB，

∴當時，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，

即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；

當時，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，

即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；

綜上所述，M點的坐標為（0，）或（0，）；

（3）連接DN，AD，如圖，

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OC平分∠ACB，

∴∠ACO=∠BCO，

∵BD∥OC，

∴∠BCO=∠DBC，

∵DB=BC=AC=5，CM=BN，

∴△ACM≌△DBN，

∴AM=DN，

∴AM+AN=DN+AN，

而DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），

∴DN+AN的最小值=，

∴AM+AN的最小值為．