Question

如圖，在直角坐標系中有一個半徑為r的圓A，圓心A在x軸的正半軸上，從坐標原點O向圓A作切線，切點是B．
（1）如果，OA與半徑r的差是3，求圓A的半徑r，點A的坐標及∠AOB的正弦值；
（2）設∠AOB=α，在圖中確定一個與2α大小相等的角（可以添加輔助線），并說明理由；
（3）在（2）的基礎上，試探究sin2α與2sinα是否相等．如果相等，請說明理由；如果不相等，請你找出它們之間正確的關系式．

Answer 1

解：（1）AB=r，，OA=r+3，
∵OB與圓A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA²=AB²+OB²，
∴，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴，

（2）如圖，取OA的中點D，過點D作OA的垂線，交OB于點C，連接AC，
∵DC是OA的垂直平分線，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中，，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴，
∵，且OC=AC，
∴，
∴=2cosα•sinα．
分析：（1）根據題意設出圓的半徑為r，根據切線的性質，勾股定理即可推出r的長度，即可推出A點的坐標，
（2）作輔助線，取OA的中點D，過點D作OA的垂線，交OB于點C，連接AC，則OC=AC，推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α，
（3）根據（1）和（2）推出的結論，即得：，，，然后根據△ABO∽△CDO，推出，由，推出sin2α==2cosα•sinα．
點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質，解直角三角形，切線的性質，勾股定理的運用，全等三角形的判定與性質，關鍵在于熟練并正確地運用各性質定理，認真進行等量代換．