Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD= ，AE=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD； 在Rt△ADE中，DE= ，

∵△ADF∽△DEC，
∴ ；
∴ ，
解得AF=

【解析】（1）根據平行四邊形的性質證出AD∥BC，AB∥CD，結合已知∠AFE=∠B．得出∠ADF=∠CED，∠AFD=∠C再根據兩組角對應相等的兩個三角形相似證得結論。
（2）根據平行四邊形的性質及已知AE⊥BC，證明△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE的長，再根據相似三角形的性質（△ADF∽△DEC）。得對應線段成比例，建立方程求出AF的長。