Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，AD是△ABC的角平分線．求作AB的垂直平分線MN交AD于點E，連接BE；并證明DE＝DB．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

如圖,利用基本作圖作MN垂直平分AB得到點E,先計算出∠BAC=36°,再利用AD是△ABC的角平分線得到∠DAB=18°,再利用線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質得到∠EBA=∠EAB=18°,接著利用三角形外角性質得到∠DEB=36,然后計算出∠DBE=36°得到∠DEB=∠DBE,從而得到DE=DB

如圖，點E為所作；

∵∠C＝90°，∠B＝54°，

∴∠BAC＝36°，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠DAB＝ ×36°＝18°，

∵MN垂直平分AB，

∴EA＝EB，

∴∠EBA＝∠EAB＝18°，

∴∠DEB＝∠EAB+∠EBA＝36°，

∵∠DBE＝54°﹣18°＝36°，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴DE＝DB．