Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c過點A（0，﹣6）、B（﹣2，0），與x軸的另一交點為點C．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）將直線AC向下平移m個單位，使平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點M，求m的值及點M的坐標；
（3）拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入拋物線y= x2+bx+c中得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣6；

（2）解：y= x2﹣2x﹣6，

當y=0時， x2﹣2x﹣6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴C（6，0）；

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為：y=x﹣6，

直線AC向下平移m個單位后的直線關系式為：y=x﹣6﹣m，

∵平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點M，

則 ，

得： =0，

△=（﹣3）2﹣4× m=0，

m= ，

代入得：y=x﹣6﹣m=x﹣ ，

則 ，

解得： ，

∴M（3，﹣ ）；

（3）解：分三種情況：

①當∠PAC=90°時，如圖1，

∵OA=OC=6，∠AOC=90°，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴△EAC是等腰直角三角形，

∴AE=AC，

∴OE=OC=6，

∴E（﹣6，0），

設AE：y=kx+b，

則 ，解得： ，

∴直線AE的解析式為：y=﹣x﹣6，

則 ，

﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=0（舍），x2=2，

∴P（2，﹣8），

②當∠ACP=90°時，如圖2，

∠PCB=90°﹣45°=45°，

過P作PE⊥BC于E，

∴△PEC是等腰直角三角形，

∴PE=EC，

設P（x， x2﹣2x﹣6），

∴PE= x2﹣2x﹣6，EC=﹣x﹣6，

∴ x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=6，x2=﹣4，

∵P在第二象限，

∴x=6不符合題意，舍去，x=﹣4，

∴P（﹣4，10），

③以AC為直徑畫圓，交拋物線于兩點P1、P2，如圖3，

則∠AP1C=∠AP2C=90°，

∵ = ，

= ，

AC2=62+62=72，

由勾股定理得： + =72，

化簡得：x3﹣8x2+8x+24=0，

x3﹣2x2﹣4x﹣（6x2﹣12x﹣24）=0，

x（x2﹣2x﹣4）﹣6（x2﹣2x﹣4）=0，

（x﹣6）（x2﹣2x﹣4）=0，

解得：x1=6（舍），x2=1+ ，x3=1﹣ ，

∴P（1+ ，﹣5﹣ ）或（1﹣ ，﹣5+ ），

綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為：（2，﹣8），（﹣4，10），（1+ ，﹣5﹣ ），（1﹣ ，﹣5+ ）．

【解析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；（2）由直線向下平移m個單位得：y=x﹣6﹣m，由直線與拋物線有且只有一個公共點M可知：由解析式列方程組根據△=0，可得結論；（3）分三種情況：①當∠PAC=90°時，如圖1，由△EAC是等腰直角三角形，可得E（﹣6，0），直線AP與拋物線的交點就是P，列方程組可得P的坐標；②當∠ACP=90°時，如圖2，由PE=EC，列式： x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，解出即可；③當APC=90°時，如圖3，畫圓，根據直徑所對的圓周角是直角可知，有兩個點符合，設出點P的坐標，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根據勾股定理可得到關于P點橫、縱坐標的等量關系式，聯立拋物線的解析式，即可求出此時點P的坐標．