Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2－4ax＋b交x軸正半軸于A、B兩點，交y軸正半軸于C，且OB＝OC＝3.

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 如圖1，D為拋物線的頂點，P為對稱軸左側拋物線上一點，連接OP交直線BC于G，連GD．是否存在點P，使？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3) 如圖2，將拋物線向上平移m個單位，交BC于點M、N．若∠MON＝45°，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－4x＋3 ；(2) P();(3)

【解析】分析：(1)把,,代入,解方程組即可.
(2)如圖1中,連接OD、BD,對稱軸交x軸于K,將繞點O逆時針旋轉90°得到△OCG,則點G在線段BC上,只要證明是等腰直角三角形,即可得到直線GO與拋物線的交點即為所求的點P.利用方程組即可解決問題. (3)如圖2中,將繞點O順時針旋轉得到,首先證明,設,,則,
設平移后的拋物線的解析式為,由消去y得到,由,推出,,M、N關于直線對稱,所以,設,則,利用勾股定理求出a以及MN的長,再根據根與系數關系,列出方程即可解決問題.

本題解析：

(1),,,代入,
得,解得,
∴拋物線的解析式為

(2)如圖1中,連接OD、BD,對稱軸交x軸于K.

由題意,,,,
,,
,
將繞點O逆時針旋轉90°得到,則點G在線段BC上,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
∴直線GO與拋物線的交點即為所求的點P.
設直線OD的解析式為,把D點坐標代入得到,/span>,
,
∴直線OD的解析式為,
,
∴直線OG的解析式為,
由解得或,
點P在對稱軸左側,
點P坐標為

(3)如圖2中,將繞點O順時針旋轉90°得到

,
,
,,,
,
,
,
,
,
設,,則,
設平移后的拋物線的解析式為,
由消去y得到,

,,
∴M、N關于直線對稱,
,設,則,
,
(負根已經舍棄),
,
,