Question

【題目】如圖1，點為正方形的邊上一點，，且，連接．

(1)求的度數；

(2)如圖2，連接交于，交于．

求證：．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）見詳解．

【解析】

（1）過點F作FM⊥AB交AB的延長線于點M，證明△EBC△FME，即可解決問題；
（2）過點F作FG//AB交BD于點G．先證明四邊形ABGF為平行四邊形，再證明△FGM△CDM，即可解決問題．

（1）過點F作FM⊥AB交AB的延長線于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，
∴∠MEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，
∴∠MEF＝∠ECB，
∵EC＝EF，
∴△EBC△FME(AAS) ，
∴FM＝BE，EM＝BC，
∵BC＝AB，
∴EM＝AB，
∴EMAE＝ABAE，
∴AM＝BE，
∴FM＝AM，
∵FM⊥AB，
∴∠MAF＝45°，
∴∠EAF＝135°；

（2）過點F作FG//AB交BD于點G．
由（1）可知∠EAF＝135°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠EAF+∠ABD＝180°，
∴AF//BG，
∵FG//AB，
∴四邊形ABGF為平行四邊形，
∴AF＝BG，FG＝AB，
∵AB＝CD，
∴FG＝CD，
∵AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠FGM＝∠CDM，
∵∠FMG＝∠CMD
∴△FGM△CDM(AAS)，
∴GM＝DM，
∴DG＝2DM，
∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．