Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD與CE相交于點F，AE2＝EF·EC.

(1)求證：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；

(2)求證：AF·AD＝AB·EF.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據已知條件的線段比值以及∠AEF=∠CEA得出△EAF和△ECA相似，從而得出∠EAF=∠ECA，根據AD=AC得出∠ADC=∠ACD，從而得出角度之間的關系；(2)、根據第一題中的相似得出∠EFA=∠CAB，根據BD=AD得出∠B=∠EAF，從而得出△FAE和△ABC相似，即，根據AC=AD得出結論．

試題解析：(1)∵AE2＝EF·EC， ∴＝， 又∵∠AEF＝∠CEA， ∴△EAF∽△ECA，

∴∠EAF＝∠ECA. ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD.

∵∠ACD＝∠DCE＋∠ECA＝∠DCE＋∠EAF， ∴∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；

(2)由(1)可知△EAF∽△ECA， ∴∠EFA＝∠EAC， 即∠EFA＝∠CAB.

∵BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD，即∠B＝∠EAF， ∴△FAE∽△ABC，

∴＝， ∴FA·AC＝AB·FE， ∵AC＝AD， ∴AF·AD＝AB·EF．