Question

【題目】已知中，，為線段上一點（不與重合），點為射線上一點，，設，．

（1）如圖1，①若，，則__________，___________．

②若，，則__________，___________．

③寫出與的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，當點在的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出與的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①10°，5°；②16°，8°；③α=2β，理由見解析；（2）2β=180°+α，理由見解析

【解析】

（1）①直接求α度數，根據三角形的內角和與等腰三角形的性質求∠ACB和∠AED的度數再根據外角定理求β；②解法同①；③設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-y°，求出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，從而可得結論；

（2）設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，同理得出出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，從而可得結論.

解：（1）①∵∠DAE=40°

∴∠ADE+∠AED=140°

∴∠ADE=∠AED=70°

∵∠BAC=50°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴65°+10°=70°+∠β

∴∠β=5°

故答案為10°，5°；

②∵∠DAE=42°

∴∠ADE+∠AED=138°

∴∠ADE=∠AED=69°

∵∠BAC=58°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴61°+16°=69°+∠β

∴∠β=8°

故答案為16°，8°；

③α=2β，理由是：

如圖（1），設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-y°，

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∴

∴α=2β

（2）如圖（2），2β=180°+α，理由是：

設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∵∠EDB是△EDC的一個外角

∴∠EDB=∠AED+∠ACB

∴

∴2β=x°+y°，即2β=180°+α