Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B（點A位于點B左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）設(shè)動點N（-2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；

（3）P是拋物線上位于x軸上方的一點，請?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳cP，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、點C（0，-）；（2）n=；（3）存在點（6，2）、（-4，2），使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．

【解析】試題分析：（1）令y=0可求得點A、點B的橫坐標，令x=0可求得點C的縱坐標；

（2）根據(jù)兩點之間線段最短作M點關(guān)于直線x=-2的對稱點M′，當N（-2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最小；

（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點P的坐標．

試題解析：（1）令y=0得x1=-2，x2=4，

∴點A（-2，0）、B（4，0）

令x=0得y=-，

∴點C（0，-）

(2)過點A(－2，0)作y軸的平行線l，則點B關(guān)于l的對稱點B′(－8，0)，

又M(1，－)，連接B′M與l的交點即為MN＋BN值的最小點．

設(shè)直線B′M的解析式為y＝kx＋b，

則，解得，

∴，

∴當x＝－2時，n＝．

(3)假設(shè)存在點P(t，)，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似，下面分情況討論：

(Ⅰ)當點P在第一象限時，顯然∠PBA為鈍角，∠BAD與∠ABD為銳角，過D作DE⊥x軸于點E，過P作PF⊥x軸于點F，易得D(2，－)．

∵∠PAF＝∠DAE，則△PAF∽△DAE，

∴，

∴，

解得t＝6，或t＝－2(舍)．

t＝6時，PF＝2，AF＝8，PA＝6，

又∵AD＝3，

∴，，

所以，

∴t＝6時，△PAB與△BAD相似，且P(6，2)．

②若∠PAF＝∠DBE，則△PAF∽△DBE，

∴，

∴，解得t＝8，或t＝－2(舍)．

t＝8時，AF＝10，PF＝5，PA＝5，

又∵BD＝，

∴，，，

所以，且，

∴t＝8時，△PAB與△BAD不可能相似．

(Ⅱ)當點P在第二象限時，

根據(jù)對稱性易知存在點P(－4，2)，使△PAB∽△BDA．

綜上所述，存在點(6，2)、(－4，2)、，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．