Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在CD邊的延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯結MN、AC，MN與邊AD交于點E．

（1）求證：AM＝AN；

（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝ACAE；

（3）MN和AC相交于O點，若BM＝1，AB＝3，試猜想線段OM，ON的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）ON＝2OM，理由見詳解

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB＝AD，由“ASA”可證△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；

（2）由題意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可證△AMC∽△AEN，即可證AM2＝AEAC；

（3）先求出AM，進而求出MF＝NF＝BF＝，再判斷出△ABM∽△AFO，進而求出FO，即可得出結論．

證明（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，

∴∠BAM+∠MAD＝90°，

∵∠MAN＝90°，

∴∠MAD+∠DAN＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，

∴△ABM≌△ADN（ASA）

∴AM＝AN；

（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°

∴∠MNA＝45°，

∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，

∴∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，

∴△AMC∽△AEN，

∴，

∴AMAN＝ACAE，

∵AN＝AM，

∴AM2＝ACAE；

（3）ON＝2OM，理由：如圖，

在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，

根據勾股定理得，BM＝＝，

過點B作BF⊥MN于F，

∴∠OFB＝∠A＝90°，

由（1）知，AM＝AN，

∵∠MBN＝90°，

∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABC＝45°＝∠MBF，

∴∠ABM＝∠FBO，

∴△ABM∽△FBO，

∴，

∴，

∴FO＝，

∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，

∴ON＝2OM．