Question

【題目】如圖在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于E交AB的延長線于點F，

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）16π

【解析】試題分析：（1）連結AD、OD，如圖，根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根據等腰三角形的性質得BD=CD，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根據切線的判定定理得EF是⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為R，利用OD∥AE得到△FOD∽△FAE，根據相似比可得

=，解得R=4，然后利用圓的面積公式求解．

試題解析：（1）連結AD、OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，

∵OD∥AE，

∴△FOD∽△FAE，

∴=，即=，

解得R=4，

∴⊙O的面積=π42=16π．