Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣mx﹣m﹣1與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求點A、B的坐標；

（2）點D是拋物線上一點，且∠ACO+∠BCD＝45°，求點D的坐標；

（3）將拋物線向上平移m個單位，交線段BC于點M，N，若∠MON＝45°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）；（2）D（，﹣）或（5，12）；（3）m＝

【解析】

（1）把C點的坐標代入解析式可得：﹣m﹣1＝﹣3，解得：m＝﹣2，即可求解；

（2）①當點D在BC下方時，∠ACO+∠BCD＝45°，則AC⊥CD，則直線CD的表達式為：y＝x﹣3，聯立①②并解得：x＝0或，即可求解；②當點D（D′）在BC上方時，ED的表達式為：y＝﹣x+，點H（，﹣），點E的坐標為：（，2），即可求解；

（3）證明△NOM∽△NCO，則NO2＝MNCN，即可求解．

（1）把C（0，﹣3）代入解析式可得：﹣m﹣1＝﹣3，解得：m＝﹣2，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3

令y＝0，解得：x＝3或﹣1，

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）①當點D在BC下方時，

∵∠ACO+∠BCD＝45°，則AC⊥CD，

設直線AC的解析式為y=k1x-3，代入A（﹣1，0）可得：k1=-3，

∴直線AC的解析式為y=-3x-3，

則直線CD的表達式為：y＝x﹣3，

聯立得： ，解得：x＝0或（0舍去），

故點D（，﹣）；

②當點D（D′）在BC上方時，

過點D作DE⊥BC交BC于點H，交CD′于點E，則D點、E點關于直線BC對稱，

設直線BC的解析式為y=k2x+b，把B(3，0），C(0，-3)代入得：

解得：

∴直線BC的表達式為：y＝x﹣3

設直線ED的表達式為：y=-x+n，把點D（，﹣）代入得：n=

則ED的表達式為：y＝﹣x+

聯立得： ，解得：x＝，故點H（，﹣），根據中點坐標公式可求得點E的坐標為：（，﹣），

設直線CE的表達式為y=ax+c，可得 ，解得

則直線CE的表達式為：y＝3x﹣3

聯立得： ，解得：x＝0或5（0舍去），

故點D（D′）的坐標為：（5，12），

綜上，點D的坐標為：（，﹣）或（5，12）；

（3）如圖2，拋物線平移后的圖象為虛線部分，

則拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3+m（m＞0），

則x2﹣2x﹣3+m=x-3，

∴x2﹣3x+m=0，

設點M、N的坐標分別為：（x1，y1）、（x2、y2），

則x1+x2＝3，x1x2＝m，x2＝，

∵∠MON＝45°＝∠OCM，∠ONM＝∠ONM，

∴△NOM∽△NCO，

∴NO2＝MNCN，

而NO2＝（x22+y2/span>2），MN＝（x2﹣x1），CN＝x2，

即（x22+y22）＝2x2（x2﹣x1），

即2x1x2＝x22﹣y22，而y2＝x2﹣3，

∴2x1x2＝6x2﹣9

即2m=×6﹣9

解得：m＝或 （不符合題意，舍去）．

∴m＝