Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，對于任意的三個點A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的“三點矩形”．在點A，B，C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點A，B，C的“迷你三點矩形”．

如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點A，B，C的“三點矩形”，矩形IJCH是點A，B，C的“迷你三點矩形”．

如圖2，已知M(4，1)，N(-2，3)，點P(m，n)．

（1）①若m＝1，n＝4，則點M，N，P的“迷你三點矩形”的周長為 ，面積為 ；

②若m＝1，點M，N，P的“迷你三點矩形”的面積為24，求n的值；

（2）若點P在直線y＝-2x＋4上．當點M，N，P的“迷你三點矩形”為正方形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①18，18；②n的值為5或；（2）點P的坐標為或．

【解析】

（1）①根據“迷你三點矩形”的定義畫出圖形，再根據矩形的周長和面積公式求解即可；

②先根據點M、N的坐標可得“迷你三點矩形”的一條邊的長，再根據矩形的面積公式可得另一條邊的長，由此即可得；

（2）先根據“迷你三點矩形”的定義可得正方形的邊長，從而可得點P的縱坐標，再代入直線求解即可得．

（1）①如圖，畫出點M、N、P的“迷你三點矩形”

則矩形的兩邊的長分別為，

因此，矩形的周長為，面積為

故答案為：18，18；

②

點M，N，P的“迷你三點矩形”的一條邊的長為

又點M，N，P的“迷你三點矩形”的面積為24，且點M、N的縱坐標之差為

點M，N，P的“迷你三點矩形”的另一條邊的長為，且點P的縱坐標大于點N的縱坐標或小于點M的縱坐標

則有或

解得或

故n的值為5或；

（2）由②知，點M，N，P的“迷你三點矩形”的一條邊的長為

則點M，N，P的“迷你三點矩形”為正方形時，正方形的邊長為6

同②的方法可得：或

解得或

點在直線上

當時，，解得

當時，，解得

則點P的坐標為或．