Question

【題目】在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖①和圖②發現并驗證了平方差公式和完全平方公式．這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．

請你利用上述方法解決下列問題：

（1）請寫出圖1和圖2所表示的代數恒等式

_______ _______

（2）現有a×a，b×b的正方形紙片和a×b的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次，每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖形中必須保留拼圖的痕跡），使拼出的矩形面積為為2a2+5ab+2b2，并標出此矩形的長和寬．

（拓展應用）

提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法?

幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：

（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．

（2）原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021，

用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．

歸納提煉：

兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是(用文字表述)_________．

證明上述速算方法的正確性；

Answer 1

【答案】（1）（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；（2）圖形見解析，矩形的長為：a+2b；寬為：2a+b；歸納提煉：十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果；驗證見解析

【解析】

（1）利用面積法即可找到代數恒等式；

（2）根據矩形面積為2a2+5ab+2b2，作出相應的矩形即可求出長和寬；

歸納提煉：根據題意即可寫出兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算文字表述；設兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數的十位數為a，個位數分別是b和（10-b），根據題意與整式的運算法則即可驗證．

（1）圖1表示的代數恒等式：（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；

圖2表示的代數恒等式：（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；

故答案為：（a+b）(2a+b)=2a2+3ab+b2；（2a+b）(a+2b)=2a2+5ab+2b2；

（2）如圖，2a2+5ab+2b2=(a+2b) (2a+b)

故矩形的長為：a+2b；寬為：2a+b；

歸納提煉：兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算文字表述為：十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果；

驗證：設兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數的十位數為a，個位數分別是b和（10-b）

則這兩個數為分別為：10a+b、10a+10-b，

∴這兩個數的乘積為：（10a+b）（10a+10-b）=100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2=100×（a+1）×a+b（10-b）；

即十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，

故驗證正確．