Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E．

（1）求證：∠1=∠CAD；

（2）若AE=EC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，易證得∠CAD=∠BDO，繼而證得結論；

（2）由（1）易證得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CD的長，再利用勾股定理，求得答案．

試題解析：（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

∵AC為⊙O的切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAD+∠CAD=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠1=∠BDO，

∴∠1=∠CAD；

（2）∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，

∴△CAD∽△CDE，

∴CD：CA=CE：CD，

∴CD2=CACE，

∵AE=EC=2，

∴AC=AE+EC=4，

∴CD=2，

設⊙O的半徑為x，則OA=OD=x，

則Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，

∴x2+42=（2+x）2，

解得：x=．

∴⊙O的半徑為．