Question

【題目】以點A為頂點作兩個等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD，CE．

（1）說明BD=CE；

（2）延長BD，交CE于點F，求∠BFC的度數；

（3）若如圖2放置，上面的結論還成立嗎？請簡單說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°；（3）成立，見解析

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則BD=CE；

（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內角和定理可得到∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF=180°﹣∠DBA﹣∠BDA=∠DAB=90°；

（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．

解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，

∴∠ACE=∠ABD，

而在△CDF中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF

又∵∠CDF=∠BDA

∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA

=∠DAB

=90°；

（3）BD=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS）

∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，

∴∠BFC=∠CAB=90°．