Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點B恰好與CD邊上的動點P重合（點P不與點C，D重合），折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，連接MB，MP，BP，BP與MN相交于點F．

（1）求證：△BFN∽△BCP；

（2）①在圖2中，作出經過M，D，P三點的⊙O（要求保留作圖痕跡，不寫做法）；

②設AB=4，隨著點P在CD上的運動，若①中的⊙O恰好與BM，BC同時相切，求此時DP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①作圖見解析；②3．

【解析】

試題分析：（1）根據折疊的性質可知，MN垂直平分線段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性質可得出∠C=90°=∠BFN，結合公共角∠FBN=∠CBP，即可證出△BFN∽△BCP；

（2）①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點O，以OD為半徑作圓即可；

②設⊙O與BC的交點為E，連接OB、OE，由△MDP為直角三角形，可得出AP為⊙O的直徑，根據BM與⊙O相切，可得出MP⊥BM，進而可得出△BMP為等腰直角三角形，根據同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，結合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可證出△ABM≌△DMP（AAS），根據全等三角形的性質可得出DM=AB=4、DP=AM，設DP=2a，根據勾股定理結合半徑為直徑的一半，即可得出關于a的方程，解之即可得出a值，再將a代入OP=2a中求出DP的長度．

試題解析：（1）證明：∵將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點B恰好與CD邊上的動點P重合，∴MN垂直平分線段BP，∴∠BFN=90°．

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C=90°．

∵∠FBN=∠CBP，∴△BFN∽△BCP．

（2）解：①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點O，以OD為半徑作圓即可．如圖所示．

②設⊙O與BC的交點為E，連接OB、OE，如圖3所示．

∵△MDP為直角三角形，∴AP為⊙O的直徑，∵BM與⊙O相切，∴MP⊥BM．

∵MB=MP，∴△BMP為等腰直角三角形．

∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，∴∠PMD=∠MBA．

在△ABM和△DMP中，∵∠MBA=∠PMD，∠A=∠PMD=90°，BM=MP，∴△ABM≌△DMP（AAS），∴DM=AB=4，DP=AM．

設DP=2a，則AM=2a，OE=4﹣a，BM= =．

∵BM=MP=2OE，∴=2×（4﹣a），解得：a=，∴DP=2a=3．