Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE繞著點A旋轉，∠DAE=90°，AD=AE=6，連接BD、CD、CE，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MP、PN、MN，則△PMN的面積最大值為_____．

Answer 1

【答案】32

【解析】

由題意可證△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位線定理可證△MPN是等腰直角三角形，則S△PMN=PN2=BD2．可得BD最大時，△PMN的面積最大，由等腰直角三角形ADE繞著點A旋轉，可得D是以A為圓心，AD=6為半徑的圓上一點，可求BD最大值，即可求△PMN的面積最大值．

∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC，

∴DB=EC，∠ABD=∠ACE．

∵M，N，P分別是DE，DC，BC的中點，

∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD，

∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC．

設∠ACE=x°，∠ACD=y°，

∴∠ABD=x°，∠DBC=45°﹣x°=∠PNC，∠DCB=45°﹣y°，

∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC=45°﹣y°+45°﹣x°=90°﹣x°﹣y°，

∴∠MPN=90°且PN=PM，

∴△PMN是等腰直角三角形，∴S△PMN=PN2=BD2，∴當BD最大時，△PMN的面積最大．

∵D是以A點為圓心，AD=6為半徑的圓上一點，

∴A，B，D共線且D在BA的延長線時，BD最大．

此時BD=AB+AD=16，

∴△PMN的面積最大值為32．

故答案為：32．