Question

學習了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形．類似地，我們定義：對于任意的三角形，設其三個角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足x²+y²=z²，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）根據“勾股三角形”的定義，請你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？
（2）已知某一勾股三角形的三個內角的度數從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=

6

，AC=1+

3

，BC=2，⊙O的直徑BE交AC于點D．
①求證：△ABC是勾股三角形；
②求DE的長．

Answer 1

分析：（1）直接根據“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；
（2）利用已知得出等量量關系組成方程組，進而求出x+y的值；
（3）①過B作BH⊥AC于H，設AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=

3

，HC=1，進而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出答案；
②過D作DK⊥AB于K，設KD=h，首先得出h+

3

h=

6

，進而得出h的值，求出BD，進而得出DE的長．

解答：解：（1）∵對于任意的三角形，設其三個角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足x²+y²=z²，則稱這個三角形為勾股三角形，
∴無法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；

（2）由題意可得：

x+y+z=180 xy=2160 x2+y2=z2

，
解得：x+y=102；

（3）①證明：過B作BH⊥AC于H，設AH=x，
Rt△ABH中，BH=

6-x2

，
Rt△CBH中，（

6-x2

）²+（1+

3

-x）²=4，
解得：x=

3

，
 所以，AH=BH=

3

，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=

CH

BH

=

1

3

=

3

3

，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形；

②連接CE，
∵∠A=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，
過D作DK⊥AB于K，設KD=h，
∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，
∴∠ABE=30°，
∴BK=

3

h，AK=h，
∴h+

3

h=

6

，
解得：h=

3 2 - 6

2

，
∴BD=2KD=2h=3

2

-

6

，
∴BE-BD=2

2

-（3

2

-

6

）=

6

-

2

．

點評：此題主要考查了新定義以及多元方程組解法以及勾股定理和銳角三角函數關系，利用勾股定理得出AH，HC的長是解題關鍵．