Question

20、學習了勾股定理以后，有同學提出“在直角三角形中，三邊滿足a²+b²=c²，或許其他的三角形三邊也有這樣的關系”．讓我們來做一個實驗!
（1）畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度（精確到1毫米），較短的兩條邊長分別是a=

6

mm；b=

8

mm；較長的一條邊長c=

9

mm．比較=a²+b²

＞

c²（填寫“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）畫出任意的一個鈍角三角形，量出各邊的長度（精確到1毫米），較短的兩條邊長分別是a=

6

mm；b=

8

mm；較長的一條邊長c=

11

mm．比較a²+b²

＜

c²（填寫“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根據以上的操作和結果，對這位同學提出的問題，你猜想的結論是：

若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²

，類比勾股定理的驗證方法，相信你能說明其能否成立的理由．

Answer 1

分析：熟悉勾股數，然后根據大邊對大角，小邊對小角，確定第三邊的長，從而保證三角形的形狀．如取較小的兩邊是6，8，若是直角三角形，則第三邊應是10．故要保證它是銳角三角形，只需取9．要保證它是鈍角三角形，只需取11．
證明的時候，充分運用勾股定理結合完全平方公式即可分析證明．

解答：解：（1）較短的兩條邊長分別是a=6mm；b=8mm；較長的一條邊長c=9mm．比較=a²+b²＞c²；

（2）較短的兩條邊長分別是a=6mm；b=8mm；較長的一條邊長c=11mm．比較a²+b²＜c²；

（3）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．
當△ABC是銳角三角形時，
理由：過點A作AD⊥BC，垂足為D，設CD為x，

則有BD=a-x．
根據勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
所以a²+b²=c²+2ax．
因為a＞0，x＞0，所以2ax＞0；所以a²+b²＞c²．
當△ABC是鈍角三角形時，
理由：過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D．

設CD為x，則有BD²=a²-x²，
根據勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²．
因為b＞0，x＞0，
所以2bx＞0，所以a²+b²＜c²．

點評：在給定三角形的三邊的時候，還要注意三角形的三邊關系．注意勾股定理的熟練運用以及完全平方公式的靈活變形．