Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，D是線段BC的延長線上一點，以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，點D在線段BC的延長線上移動，若∠BAC=30°，則∠DCE=　 　．

（2）設∠BAC=α，∠DCE=β：

①如圖1，當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間有什么數量關系？請說明理由；

②當點D在直線BC上（不與B、C重合）移動時，α與β之間有什么數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①α=β，理由見解析；②當D在線段BC上時，α+β=180°，當點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α=β．

【解析】試題分析：（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據三角形外角性質求出即可；

（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據三角形外角性質求出即可；

②α+β=180°或α=β，根據三角形外角性質求出即可．

試題解析：（1）解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=30°，∴∠DCE=30°．

故答案為：30°；

（2）解：當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數量關系是α=β．理由是：

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；

（3）解：當D在線段BC上時，α+β=180°，當點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α=β．